Лемма о двух милиционерах.

Если $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ и $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} c_{n} = a$

По определению: $$\begin{cases} a_{n} \to a,~~~ \exists{N_{1}}~~ \forall{n>N_{1}}~~ |a_{n}-a| < \epsilon \\ b_{n} \to a,~~~ \exists{N_{2}}~~ \forall{n>N_{2}}~~ |b_{n}-a| < \epsilon \\ \end{cases}$$ Пусть $n > max\{N_{1},N_{2}\}$. Тогда: $$a-\epsilon < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < a+\epsilon \Rightarrow a-\epsilon < c_{n} < a+\epsilon \Rightarrow |c_{n}-a| < \epsilon \Rightarrow c_{n} \to a$$ $\square$